1. 本选题研究的目的及意义
不动点理论是现代数学中一个重要分支，它在非线性分析、泛函分析、拓扑学以及微分方程、积分方程等领域中都有着广泛的应用。
压缩映射原理作为不动点理论的基石，其核心思想是：对于一个完备度量空间上的压缩映射，必存在唯一的不动点，并且可以通过迭代的方式逼近该不动点。
本选题以压缩映射不动点的迭代估计及其应用为研究对象，旨在探讨如何更快速、更精确地逼近压缩映射的不动点，并将其应用于解决实际问题中。
2. 本选题国内外研究状况综述
不动点理论作为泛函分析的重要分支，一直是国内外学者研究的热点。
特别是压缩映射原理，由于其简洁性和广泛的适用性，更是在非线性分析、优化理论、微分方程等领域得到了广泛的应用。
1. 国内研究现状
3. 本选题研究的主要内容及写作提纲
1. 主要内容
本研究的主要内容包括以下几个方面：
1.压缩映射不动点迭代算法的收敛速度分析:深入研究Picard迭代、Mann迭代、Ishikawa迭代等经典算法的收敛速度，并通过理论分析和数值实验，比较不同算法的收敛速度和适用范围。
2.压缩映射不动点迭代算法的改进:在现有迭代算法的基础上，尝试提出改进的迭代算法，例如引入松弛因子、惯性项等，以期获得更快的收敛速度和更高的计算效率。
4. 研究的方法与步骤
本研究将采用理论分析和数值实验相结合的方法，并按照以下步骤逐步展开：
1.文献调研阶段:广泛查阅国内外相关文献，深入了解压缩映射不动点理论、迭代算法及其应用方面的研究现状，为本研究奠定坚实的理论基础。
2.理论分析阶段:对Picard迭代、Mann迭代、Ishikawa迭代等经典算法进行深入的理论分析，推导其收敛速度的表达式，并分析不同算法的优缺点和适用条件。
3.算法改进阶段:在现有算法的基础上，尝试提出改进的迭代算法，并通过理论分析和数值实验验证改进算法的有效性和优越性。
5. 研究的创新点
本研究的创新点主要体现在以下几个方面：
1.改进的迭代算法:在现有迭代算法的基础上，提出改进的算法，例如，引入松弛因子、惯性项等，以期获得更快的收敛速度和更高的计算效率。
2.新的应用领域:将压缩映射不动点的迭代估计理论应用于新的领域，例如，图像处理、信号处理等，以期为相关领域提供新的解决思路和方法。
3.理论与应用相结合:将理论分析与数值实验、应用研究相结合，以期获得更深入、更全面的研究成果。
6. 计划与进度安排
第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。
第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲
第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文
7. 参考文献（20个中文5个英文）
1. 张石生, 马波. 非线性算子方程[M]. 北京: 科学出版社, 2018.
2. 郭大均. 非线性泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015.
3. 徐胜元. Banach空间中非线性算子方程的迭代解法[J]. 数学进展, 2019, 48(3): 321-340.
